Wir haben das kanonische Skalarprodukt im RhoN eingeführt und festgestellt, dass wir die Wurzel

aus dem Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ziehen können, wegen der positiven

Definitei. Das heißt, diese Operation ist wohl definiert und das motiviert auch, wie man die

Norm definiert im RhoN zur Messung von Längen. Das heißt, wir beginnen mit einer Definition der

Norm im RhoN. Norm in RhoN. Die kennen Sie natürlich auch schon aus dem letzten Semester.

Das ist nichts Neues. Dennoch ist es gut, diese Dinge nochmal ordentlich zu besprechen und in

einem Kontext einzubetten. Das heißt, wir geben uns einen Vektor vor, sei x aus dem RhoN. Dann

können wir die folgende Abbildung als Norm bezeichnen. Dann definieren wir die Abbildung

und die wird häufig mit zwei Betragsstrichen einfach bezeichnet. Das ist eine Abbildung vom

Vektorraum RhoN selbst. Das heißt, hier steckt nur ein Vektor rein, im Gegensatz zum Skalarprodukt,

in die positiven oder nicht negativen reellen Zahlen, sagen wir es so. Die können wir schreiben

als die positiven reellen Zahlen inklusive der Null. Was wird da abgebildet? Es wird abgebildet

ein Vektor x auf die Norm von x. Wie ist die definiert? Da nutzen wir jetzt die positive

Definiteit des Skalarproduktes und sagen, das ist nichts anderes wie die Wurzel aus dem Skalarprodukt

von x mit sich selbst. Das können wir auch umschreiben einfach als die Wurzel aus der Summe der

Quadrate. Das heißt, das ist nichts anderes wie x1² bis xn² und daraus die Wurzel. Das

kennen Sie sicherlich schon aus der Schule und aus dem letzten Semester. Wir denken an den Satz

von Pythagoras. Das heißt, das definiert uns hier die Länge des Vektors x. Ach so,

wir müssen noch die Definition beenden. Das definieren wir als die sogenannte euklidische

Norm von x in R auch n. Warum euklidisch? Weil wir im euklidischen Vektorraum sind und diese Norm über

das kanonische Skalarprodukt definiert haben. Deswegen euklidische Norm. Es gibt auch andere

Normen, wie Sie später sehen werden, aber diese hier über die Summe der Quadrate mit der Wurzel,

das bezeichnen wir als die euklidische Norm von x in R hoch n. Häufig wird an diese euklidische Norm,

die auf dem kanonischen Skalarprodukt basiert, nichts weiter dran geschrieben. Das sind einfach

nur zwei Betragsstriche. Manchmal sieht man auch in der Literatur die Bezeichnung, dass man hier

eine kleine 2 dran schreibt. Das ist einfach nur im Kontext dessen, dass man diese Norm

verallgemeinern kann zu P-Normen und die 2-Norm entspricht eben gerade der euklidischen Norm.

Also wenn ich nichts dran schreibe, ist immer der euklidische Norm im Folgenden gemeint. Gut,

das ist für den R auch n. Wie sieht es denn eigentlich aus mit der Norm in R,

also wenn wir gar keinen multidimensionalen Vektorraum betrachten, sondern einfach im

ein-dimensionalen bleiben, machen wir vielleicht noch eine kleine Bemerkung dazu. Ich schreibe mal

ganz salopp, im 1D-Fall für Vektorraums nur die reellen Zahlen reduziert sich die Norm

oder die euklidische Norm auf die Betragsfunktion. Ist klar, ich nehme einfach das Quadrat der Zahl,

ziehe die Wurzel raus, das ist dasselbe wie als wenn ich den Betrag der Zahl nehme für den

Fall, dass ich mich immer auf die positive Wurzel beziehe. Die Betragsfunktion, das heißt,

wir können ganz einfach sagen, dass die Norm von x im 1D-Fall nichts anderes ist,

wie der Betrag von x. Wunderbar. Und jetzt haben wir die Norm als eine Länge, die Länge eines

Vektors eingeführt. Eigentlich gibt sie uns sogar den Abstand an. Wie ist das? Naja,

wir sehen ein, die Norm des Vektors x, die Norm von x ist gerade der Abstand von x zum Ursprung unseres

Vektorraums von x zum Ursprung von r auch n. Das heißt, was wir da eigentlich ausrechnen,

ist die Länge des Vektors x minus dem Nullvektor. Das heißt, wir messen den Abstand des folgenden

Vektors, nämlich gerade x minus dem Nullvektor in r auch n. Diese Beobachtung des Abstands,

die werden wir gleich noch oder im nächsten Video verallgemeinern, wenn es darum geht,

einen Abstandsbegriff als Metrik einzuführen. An der Stelle bleiben wir jetzt erstmal bei der Norm

und wollen eigentlich noch weitere Eigenschaften der Norm herleiten. Dafür ist es ganz sinnvoll,

sich einen sehr wichtigen Satz vorher anzuschauen, die sogenannte Cauchy-Schwarzungleichung,

die uns helfen wird, die Eigenschaften der Norm noch besser interpretieren zu können. Das heißt,

wir machen als nächstes die Cauchy-Schwarzungleichung. Die sollten Sie im ersten Semester an der einen

oder anderen Stelle auch schon mal gesehen haben. Die darf auf keinen Fall fehlen, wenn wir von

Normen und Skalarprodukten sprechen. Was ist die Aussage? Wir nehmen uns zwei Vektoren aus r auch